Os juros do período, são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte.
Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros.
Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for semestral, será 4 , e assim sucessivamente.
EXEMPLO:
Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes.
Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos:
1º período:
100% R$ 1.000
102% M => M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte)
CAPITAL MONTANTE
2º período: R$ 1.020,00 * 1,02 = R$ 1.040,40
3º período: R$ 1.040,40 * 1,02 = R$ 1.061,21
4º período: R$ 1.061,21 * 1,02 = R$ 1.082,43
5º período: R$ 1.082,43 * 1,02 = R$ 1.104,08
Portanto, o montante ao final dos 5 meses será
R$ 1.104,08.
No cálculo, tivemos
R$ 1.000 * 1,02 * 1,02 * 1,02 * 1,02 * 1,02
= R$ 1.000 * (1,02)^5
= R$ 1.000 * 1,10408
= R$ 1.104,08
Observamos o fator (1,02)5. Essa potência pode ser calculada com calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas financeiras.
Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual M é o montante, C o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações.
M = C *(1 + i)^n
Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples:
CAPITAL JUROS MONTANTE
R$ 1.000,00 * 0,02 = R$ 20,00 => M = R$ 1.020,00
R$ 1.000,00 * 0,02 = R$ 20,00 => M = R$ 1.040,00
R$ 1.000,00 * 0,02 = R$ 20,00 => M = R$ 1.060,00
R$ 1.000,00 * 0,02 = R$ 20,00 => M = R$ 1.080,00
R$ 1.000,00 * 0,02 = R$ 20,00 => M = R$ 1.100,00
Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00.
Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar o simples
EXEMPLOS RESOLVIDOS
1) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.
Resolução:
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações.
C = R$ 600
i = 4% = 0,04
n = 12
M = C * (1 + i)^n => M = 600 * (1 + 0,04)^12 => M = 600 * (1,04)^12
=> M = 600 * 1,60103
M = R$ 960,62
O fator (1,04)^12 pode ser calculado com auxílio das tabelas financeiras, para n = 12 e i = 4%.
(1 + i)^n
n i=>
2% 3% 4% 5%
9 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133
10 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889
11 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034
12 1,26824 1,42576 1,60103 1,79586
13 1,29361 1,46853 1,66507 1,88565
2) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?
Resolução:
C = R$ 500
i = 5% = 0,05
n = 8 (as capitalizações são mensais)
M = C * (1 + i)^n => M = 500 * (1,05)^8 => M = R$ 738,73
O valor dos juros será:
J = 738,73 – 500
J = R$ 238,73
3) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?
Resolução:
M = R$ 477,62
i = 3% = 0,03
n = 6 (as capitalizações são trimestrais)
M = C * (1 + i)^n
477,62 = C * (1,03)^6
C = 477,62/1,19405
C = R$ 400,00
